无限注德州扑克中打听牌的数学原理

盈利扑克的关键就是做决策时有正的期望值，比如让你的平均收入大于你的平均支出的决策。在某些情况下，判断决策是否有正的期望值很简单。在本文中，我们会探索一种非常难的情况，也就是当还有很多牌没发，还有很多下注圈没有到来时，判断是否应该跟注。

在《扑克理论》一书中，David Sklansky在有效赔率的章节解释了这个问题。

在本文中，我会向你展示影响追听牌是否有正期望值的因素，并且创造一个公式来计算。然后我会解释如何使用这个公式分析和提高你的打法，并给出实例。

我们来看这种情况：我们在看到翻牌后拿到听牌。对手下注，他还有筹码，所以有可能在转牌再次下注。我们假设如果我们不中牌，就没机会获胜。如果不中牌，就会在河牌弃牌。我们还假设如果我们中牌就能拿下底池。我们只要审查跟注是否有利可图，半诈唬加注不在考虑之列。

如果从做出决策起，我们的平均收入大约平均支出，那决策就有正期望值。所以要判断我是否应该用听牌跟注下注，而且还有很多牌没发，有下注圈没到来，我们必须问两个问题：“追听牌的平均支出是多少？”以及“打这手听牌的平均收入是多少？”

平均支出是多少？

我们先回答第一个问题。首先，我们要在翻牌跟注才能看转牌。这个跟注的数目包含两个部分：对手下注占底池的比例（我们在公式中称为A）乘以翻牌下注圈之前底池已经有的钱数（M）：

A x M

然后，我们要在转牌跟注才能看河牌。当我们判断是否在翻牌跟注时，我们并不知道这个数目，所以这时我们能得到的最好的就是他在这种情况下会下注的平均数。这个平均数包含三个因素：在我们所处的这个情况下，他在转牌的下注频率(F)，当他第一个下注时，他下注占底池的比例（B）以及底池的大小（这同样取决于翻牌的下注量（M+2AM）。为了得到平均支出，我们必须把这个数目乘以我们会在转牌有任何支出的可能性。如果我们在转牌中牌，我们就不会有在转牌追听牌的支出了。我们把在转牌中牌的可能性称为P1,所以我们在转牌有追牌支出的可能性为1-P1。所以我们在转牌的平均支出为：

(1 - P1) x FB x (M + 2AM)

我们追听牌总的平均支出为：

A x M + (1 - P1) x FB x (M + 2AM)

平均收入是多少？

现在我们需要回答第二个问题。如果我们在转牌中牌，我们能赢到翻牌下注圈以前的底池（M）,以及我们和对手在翻牌的下注（2AM）。要计算我们在转牌的平均收入，我们必须把这个数目乘以我们在转牌中牌的可能性（P1）:

P1 x (M + 2AM)

我们在河牌的平均收入包含三个因素：在转牌不中牌的可能性（1-P1），转牌没中牌后在河牌中牌的可能性（P2），以及底池,这取决于之前的下注圈(M + 2AM + 2FB x (M + 2AM)。所以我们在河牌的平均收入为：

P2 x (1 - P1) x (M + 2AM + 2FB x (M+2AM)

我们打这手听牌总的平均收入为：

P1 x (M + 2AM) + P2 x (1 - P1) x (M + 2AM + 2FB x (M + 2AM))

更准确的说，这是对手发现我们中牌后，然后停止往底池投钱时的总收入。如果他不会总是知道自己已经被击败了（他通常不会知道），那我们击中手牌还有一些潜在收入（IM）。

公式

如果把上面的公式整合到一起，我们就能造一个公式来显示我们平均能赢或输多少。为了简化公式，我已经把两个公式都除以翻牌下注圈之前的底池大小，因此我们得到的数字就是原始底池的比例。这个公式显示的是，当我们中牌时，对手总会知道，然后会弃牌时我们的期望值：

EV = P1 x (1 + 2A) + P2 x (1 - P1) x (1 + 2A + 2FB x (1 + 2A)) - A - (1 - P1) x FB x (1 + 2A)

如果期望值大于0，也就是EV > 0,追听牌本身就是有利可图的。即使我们击中牌后没有潜在收入也有利可图。如果EV=X，那我们每手牌平均能赢XM+IM。

如果期望值小于0，也就是EV < 0，我们就需要在击中牌后有一些潜在收入才能令追听牌有利可图。

如果EV=-X，翻牌下注圈之前的底池大小为M，我们就需要每手牌的平均潜在收入至少达到XM。由于不中牌时我们显然没有任何潜在纯收入，会在河牌弃牌，我们必须把这个数字除以击中手牌的可能性，从而得到当我们击中牌时需要多大的潜在收入。我们把期望值的公式稍微改一下，用平均收入减去平均支出，然后用这个数字除以我们击中牌的可能性。这样就得到了当我们击中牌时，至少需要多少平均潜在纯收入才能让我们追听牌有利可图。

I = A + (1 - P1) x FB x (1 + 2A) - P1 x (1 + 2A) - P2 x (1 - P1) x (1 + 2A + 2FB x (1+2A)) / 1 - (1 - P1) x (1 - P2)

如果I=X，翻牌下注圈之前的底池是M，当我们击中牌时，需要超过IM的平均潜在纯收入。例如，如果I=0.72,底池M为$100，我们击中牌后，至少需要对手再往平均投$72。

如何利用这个公式来分析和提高你的打法

重要的问题来了：任何利用这个公式的只是来提高你的打法呢？

你当然没法在桌上做这个计算。在桌上时，重点是理解这个公式，知道哪些因素会影响追牌是否有利可图，以及如何影响：

1、对手在翻牌圈的下注占底池的比例越大，追听牌越无利可图

2、你在转牌击中听牌的机会越大，追听牌越有利可图

3、对手在转牌的下注频率越高，追听牌越无利可图

4、对手在转牌平均下注占底池的比例越大，追听牌越无利可图

5、你在河牌击中听牌的机会越大，追听牌越有利可图

6、你击中牌后的平均潜在收入越多，追听牌越有利可图

在桌上时，你还需要利用在牌桌外工作的成果。不在桌上时，你应该使用这个公式来估算数字和分析你打过的手牌。你还应该使用这个公式来计算典型情况的数字。你分析的情况越多，对追听牌是否有利可图的感觉就越好。

实例

我们使用这个公式来分析一手牌：

你的牌是7h6h,底池为$100，翻牌为Ah-Kh-10s。对手下注$50,他经常在转牌持续下注半个底池。你需要多少平均潜在纯收入才能让追听牌有利可图呢？

I = A + (1 - P1) x FB x (1 + 2A) - P1 x (1 + 2A) - P2 x (1 - P1) x (1 + 2A + 2FB x (1+2A)) / 1 - (1 - P1) x (1 - P2)

I = 0.5 + (1 - 0.191) x 1 x 0.5 x (1 + 2 x 0.5) - 0.191 x (1 + 2 x 0.5) - 0.196 x (1 - 0.191) x (1 + 2 x 0.5 + 2 x 1 x 0.5 x (1 + 2 x 0.5) / 1 - (1 - 0.191) x (1 - 0.196)

I = 0.84

IM = 0.84 x 100 = 84

平均来说，当你击中牌时，需要超过$84的平均潜在收入(IM > $84)才能让追听牌有利可图。如果你在转牌中牌的话，这就是42%的底池（还剩两个下注圈），如果你在河牌中牌的话，这就是21%的底池。

如果对手在转牌时三次里面只会下注一次，追听牌本身就是有利可图的。你不需要任何潜在收入：

EV = 0.191 x (1 + 2x0.5) + 0.196 x (1 - 0.191) x (1 + 2x0.5 + 2x (⅓) x0.5 x (1 + 2x0.5)) - 0.5 - (1 - 0.191) x (⅓) x0.5 x (1 + 2x0.5)

EV = 0.035

EVxM = 0.035 x $100 = $3.5

请注意，在你有4:1的机会下一张牌中牌时，你在翻牌圈时只得到了3:1的赔率。跟注之所以在没潜在收入时仍然有利可图，是因为对手在下一条街的下注频率非常低。

不要用这个公式来为转牌圈错误的跟注辩护

这个公式显示出，在翻牌圈的跟注本身无利可图时，你通常也应该跟注，因为转牌的跟注十分有利可图，让追听牌有正期望值。

如果把情况反过来说就不是这样了。你没办法因为翻牌圈追听牌有正期望值，十分有利可图而做出无利可图的转牌跟注。如果追两条街的期望值加起来+$5，但只在翻牌圈追听牌的期望值就是+$20，那么转牌圈的跟注仍不是有利可图的。

虽然在翻牌圈跟注是在转牌圈跟注的先决条件，但在转牌圈跟注并不是在翻牌圈跟注的先决条件。

结语

当你在还有多张牌没发，多个下注圈没到来时判断是否应该用听牌跟注时，你必须估计后面街的行动。懂得听牌背后的数学能帮你做出更好的决策。